Десяткова система числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Десяткова система числення — це позиційна система числення із основою 10, кожне число в якій записується за допомогою 10-ти символів, цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів десяти в цьому числі.

Наприклад: 123456 = 1·105 + 2·104 + 3·103 + 4·102 + 5·101 + 6·100

Дробова частина числа формується за таким самим принципом, тільки позиція цифри в дробовій частині відраховується від коми зліва направо починаючи з 1 і береться зі знаком «-».

Наприклад: 123,456 = 1·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10−1 + 5·10−2 + 6·10−3

Походження

[ред. | ред. код]
Дві руки мають десять пальців — ймовірна причина існування десяткового числення.

Серед систем числення багатьох стародавніх цивілізацій для подання чисел використовували число десять і його степені, ймовірно саме тому, що на руках людей є десять пальців, а люди починали рахувати за допомогою пальців. Прикладом таких є вірменська, брахмі[en], грецька, гебрайська[en], римська і китайська системи числення. У цих системах важко подати дуже великі числа, і лише найкращі математики могли ділити і множити великі числа. Ці труднощі повністю вирішено із появою індо-арабської системи числення для описання цілих чисел. Цю систему розширили до можливості задавати не тільки цілі числа, а й десяткові дроби.

Визначення

[ред. | ред. код]

Один десятковий розряд у десятковій системі числення іноді називають декадою. У цифровій електроніці одному десятковому розряду десяткової системи числення відповідає один десятковий тригер.

Ціле число x у десятковій системі числення подається у вигляді скінченної лінійної комбінації степенів числа 10:

, де  — це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівності

Зазвичай для ненульового числа x вимагають, щоб старша цифра у десятковому поданні x була також ненульовою. Наприклад, число сто три подається в десятковій системі числення у вигляді:

За допомогою n позицій у десятковій системі числення можна записати цілі числа від 0 до , тобто, всього різних чисел.

Дробові числа записуються у вигляді рядка цифр з роздільником «десяткова кома», званого десятковим дробом:

де n — число розрядів цілої частини числа, m — число розрядів дробової частини числа.

Десяткові дроби

[ред. | ред. код]

Десяткові дроби це числа, подані десятковими цифрами, які є раціональними числами, що задаються у вигляді дробу, знаменником якого є степені десяти.[1] Наприклад, числа задають дроби 8/10, 1489/100, 24/100000. Тобто у загальному випадку, десяткове число із n цифрами після розділювача задає дріб із знаменником 10n, чисельником якого є ціле число, що отримується видаленням коми.

Двійково-десяткове кодування

[ред. | ред. код]

У двійкових комп'ютерах застосовують двійково-десяткове кодування десяткових цифр, при цьому для однієї двійкової-десяткової цифри відводиться чотири двійкових розряди (двійкова тетрада). Двійково-десяткові числа вимагають більшої кількості бітів для свого зберігання. Так, чотири двійкових розряди мають 16 станів, і при двійково-десятковому кодуванні 6 з 16 станів двійкової тетради не використовуються.

Таблиця додавання в десятковій системі числення

[ред. | ред. код]
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Таблиця множення в десятковій системі

[ред. | ред. код]
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Історія

[ред. | ред. код]

Десяткова непозиційна система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр (від 1 до 1 000 000) виникла в другій половині III тисячоліття до н. е. в Стародавньому Єгипті (єгипетська система числення).

В іншій великій цивілізації — вавилонській з її шістдесятковою системою — за дві тисячі років до н. е. всередині шістдесяткових розрядів використовувалася позиційна десяткова система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр. Єгипетська десяткова система вплинула на аналогічну систему в перших європейських системах письма, таких як критські ієрогліфи, лінійне письмо А і лінійне письмо Б.

Найдавніший відомий запис позиційної десяткової системи виявлено в Індії в 595 р. Нуль тоді застосовували не тільки в Індії, але й у Китаї. У цих старовинних системах для запису однакового числа використовувалися символи, поруч з якими додатково позначали, в якому розряді вони стоять. Потім перестали позначати розряди, але число все одно можна було прочитати, оскільки у кожного розряду є своя позиція. А якщо позиція порожня, її потрібно позначити нулем. У пізніх вавилонських текстах такий знак став з'являтися, але в кінці числа його не ставили. Лише в Індії нуль остаточно зайняв своє місце, цей запис поширився потім по всьому світу.

Індійська система числення прийшла спочатку в арабські країни, потім і в Західну Європу. Про неї розповів середньоазійський математик Аль-Хорезмі. Прості й зручні правила додавання і віднімання чисел, записаних у позиційній системі, зробили його особливо популярним. А оскільки праця Аль-Хорезмі написана арабською, то за індійською нумерацією в Європі закріпилося неправильна назва — «арабська» (арабські цифри).

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Decimal Fraction. Encyclopedia of Mathematics. Архів оригіналу за 22 жовтня 2018. Процитовано 18 червня 2013.

Посилання

[ред. | ред. код]